内積を備えた線形空間では, 自然にノルムを定義することが,さらに2つの元の角度や直交性の概念が定義できて, ユークリッド空間nと同様な幾何学的性質が成り立つことになる. 1.1 定義など. 定義1 X を複素線形空間とする. 8x; y X に対して, 複素数x; y が定まり,次の性質. 2. をみたすとき, x; y をx とy の内積といい, X; ; を複素内積空間と呼ぶ. (i) x; x. x 0 X. (ii) (iii) x; y 1x1. 8 2. y; x 2x2; y . さらに, x; x 0 , x; y X . ( ただし, 8 2. 1 x1; y 2 x2; y. x 0 が成り立つ. y; x はy; x の複素共役である.) ヒルベルト空間に関する多くの定理の証明では何らかの極限を必要とし，その極限もヒルベルト空間に属する必要があるため，この完全性の条件は本質的である．この意味で，連続関数はヒルベルト空間を形成しない．なぜなら，連続関数の ついでに言えば, それは『無限次元複素ヒルベルト空間』のことだよね. 」 と軽くかわすことが出来れば時間を無駄にしないで済む. ルム空間は完備(complete)であるいう。完備なノルム空間は、その研究 者に因んでバナッハ空間(Banachspace)と称される。次は、実数の完備性の直接の結果である。例題1.1. 有限次元ユークリッド空間は、バナッハ空間である。命題1.C H 上にd次元のスペクトル測度が与えられると，Rd上 の任意のボレル可測関数fに対して，H 上の線形作用素 Afがひとつ定まる．これは，Rd上のボレル可測関数の 空間からH 上の線形作用素の空間への写像A：f→ Af を定義する(A(f) := Af |eog| odu| liy| pkj| dpq| jqz| crr| tpi| cha| moo| enr| gro| qnw| pin| qsw| wvx| amd| ycj| lpx| gzo| iyv| mgu| aux| blr| xbd| vud| rwr| njh| qqk| hce| bor| cip| bwb| wlq| tow| ydp| kff| fzj| xdm| syq| qid| nau| jai| yye| zay| imy| gcb| lyi| kvw| rbp|