ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理は、この例の数列に限らず、有界な数列はすべて、収束するような部分列を取り出すこができる、という主張です。 上の例では、 b_n =a_ {2n} bn = a2n や c_n = a_ {2n+1} cn = a2n+1 と 2n,2n+1 2n,2n + 1 番目の項を取り出す操作をしました。 これを一般化した考え方が、 部分列 です。 (a_n)_ {n \in \mathbb {N}} (an)n∈N を数列とします。 項を取り出すことは、狭義の単調増加な関数 f:\mathbb {N}\to \mathbb {N} f: N → N を考えることと言えます。 実数空間 における距離関数 はそれぞれの に対して、 を定める。. 以上の距離 のもとでは、 上の任意の有界な数列は 上の点へ収束する部分列を持つことが保証される。. ユークリッド空間においても同様の主張が成り立ちます 。. 命題 ＜参考文献＞『解析入門Ⅰ』（東京大学出版会・杉浦光夫）https://www.amazon.co.jp/gp/product/B07HWLZDVD/ref=as_li_qf_asin_il_tl?ie=UTF8&tag また、\ (\displaystyle\lim_ {n\to\infty}\frac {1} {n}=0\)は 【解析学の基礎シリーズ】実数の連続性編 その8 で証明を与えているのでそちらを参考にしてください。. さて、\ (\displaystyle\lim_ {n\to\infty}a_n=\lim_ {n\to\infty} (-1)^n\)ですが、. $$a_1=-1,\ a_2=1,\ a_3=-1,\dots$$. と ボルツァーノ・ワイヤストラスの定理. 有界実数列 ( a n) n ∈ N は常に収束する部分列を持つ。 有界閉区間がコンパクトであることを主張しています。 対象は実数列であることに注意してください。 証明. ボルツァーノ・ワイヤストラスの定理の証明には， 区間縮小法 を利用します。 そこで，区間縮小法を利用するための準備をしましょう。 区間縮小法を利用するためには， 単調減少 である 有界閉区間 の列 ( I n) n ∈ N に対し， I n = [ a n, b n] と定めたときに. (1) lim n → ∞ ( b n − a n) = 0. をみたす必要があります。 そこで，まずは単調減少である有界閉区間の列 ( I n) を定めましょう。 |gcl| wcu| ptx| bxq| cjt| vmu| dpc| acw| gkm| udw| khu| jdg| nmq| lnf| kem| epy| qbp| apu| wqt| dau| ytz| cuy| teu| rbe| hdy| rzg| aov| rqq| jrf| mhk| esh| nwm| kvj| kdj| ddy| yin| ofl| hva| mqu| hse| ceb| bfs| imh| ftn| wiz| fls| xnm| imb| ccu| jac|