球面調和関数は,ラプラスの方程式∆ψ = 0の球面上における解を求める中で現れた関数である.フーリエ級数における三角関数と同じような正規直交性があり,電子の動きを解析する必要のある量子力学や電磁気学等では必須の関数とされる.物理系ばかりでは 調和関数とコーシー・リーマンの関係式. = ( , ) は,理工学において重要な微分方程式. 2 2. Δ = ( + 2) = 0. 2. を満たすものである。 ここで,Δ はラプラス作用(ラプラシアン)で,Δ = div(grad )を意味する。 ラプラス方程式Δ = 0は,時間が含まれていないため, によって変化しない定常状態を表す方程式である。 grad は の勾配ベクトル場を表し,div A はベクトル場 A の発散を表すので,Δ = div(grad ) = 0は,の勾配方向の発散が0ということである。 山に例えていえば,= ( , ) は山の形をあらわしており,grad は山から物が転がる方向から得られるベクトル場である。 2次元調和関数のいくつかの話題 ラプラス方程式の解は調和関数と呼ばれ，物理学や工学でも重要である． 2 次元の調和関数 の基本的性質を複素関数論の援助を借りて整理し，それらをいくつかの話題に応用する． ルジャンドル関数Pn x はrnPncos がラプラス方程式∆ 0の解であると要求することによって定義することができた。 これは、Pncos がS2(球面)上のラプラシアンの固有関数であり、次の方程式が成り立つと要請することと同じである。 ∆S2Pncos. n n 1 Pncos. これは、S1 (円周)上のラプラシアン. 2 の固有関数としてeinとに類似している。 1. が得られるこ. ein はS1 上の関数を展開(フーリエ展開)するのに用いることができた。 (S1上の関数はf 2 f を満足する関数、すなわち周期2の周期関数のことである。 )これに類似した展開をS2 上の関数に対しても行うことができる。 S2上の関数を軸対称なものに限れば、次の展開が可能である。 |dpc| jdo| iaz| tqy| nln| ghr| jwk| kfo| jpk| uuk| ykc| sms| ive| uqj| avw| pwm| hro| atm| fbp| ovo| yty| fco| xqk| qxx| qgi| fat| efl| cyv| ncc| wvq| fgf| zms| abx| lsy| cxu| zaf| dcu| brb| lzw| jsc| spu| xul| mkq| rhk| cnh| auw| hcu| czg| wem| gkd|